دربارۀ تابع مولد و فاصلۀ آزاد کمینه برای رده‌ای از کدهای پیچشی

کهکشانی, رضا

doi:10.48301/kssa.2021.283956.1505

دربارۀ تابع مولد و فاصلۀ آزاد کمینه برای رده‌ای از کدهای پیچشی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی (کاربردی)

نویسنده

رضا کهکشانی

استادیار، استادیار، گروه ریاضی محض، دانشکدۀ علوم ریاضی، دانشگاه کاشان، کاشان، ایران.

10.48301/kssa.2021.283956.1505

چکیده

همان‌طور که می‌دانیم، کدگذاری پیچشی یکی از دو نوع اصلی کدگذاری کانال است که به طرز گسترده‌ای برای تشخیص و تصحیح خطا مورد استفاده قرار می‌گیرد. در کدگذاری پیچشی، خروجی کدگذار به صورت یک کددنباله است که توسط یک دنبالۀ اطلاعاتی ورودی تولید می‌شود. در این مقاله، رده‌ای مهم از کدگذارهای پیچشی، یعنی کدگذارهای پیچشی ، را در نظر می‌گیریم. ماتریس تابع انتقال را برای این رده از کدگذارها محاسبه نموده و نمودار حالت آنها را ترسیم می‌کنیم. به علاوه، با استفاده از نمودار حالت اصلاح‌شده، صورت کلی تابع مولد را برای این رده به دست می‌آوریم. حالت‌های تباهیده و نیز کدهای پیچشی فجیع به ازای برخی از ضرب‌کننده‌ها ظاهر می‌شوند. سپس، فاصلۀ آزاد کمینه را برای همه کدهای پیچشی غیر فجیع، که به دست آمده از حالت‌های ناتباهیده باشند، محاسبه می‌کنیم. چنان که نشان داده می‌شود، بیشترین فاصلۀ آزاد کمینه برای این رده از کدگذارهای پیچشی برابر پنج است و تنها در دو موقعیت حاصل می‌گردد.

کلیدواژه‌ها

20.1001.1.23829796.1401.19.3.30.0

موضوعات

ریاضی

عنوان مقاله [English]

On the Generating Function and Minimum Free Distance for a Class of Convolutional Codes

نویسنده [English]

Reza Kahkeshani

Assistant Professor, Department of Pure Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences, University of Kashan, Kashan, Iran.

چکیده [English]

It is common knowledge that convolutional coding is one of the two main types of channel coding widely used to detect and correct errors. In convolutional coding, the encoder output is in the form of a code sequence generated from an input information sequence. In this paper, an important class of convolutional encoders, the convolutional encoders were considered. The transfer function matrix for this class of encoders were computed and their state diagram drawn. Moreover, the general form of the generating function for this class was obtained using the modified state diagram. Degenerate states and catastrophic convolutional codes appeared for some multipliers. Then, the minimum free distance for all non-catastrophic convolutional codes which are obtained from non-degenerate states were computed. As it is shown, the maximum value of the minimum free distance for this class of encoders is equal to five and it is obtained only in two situations.

کلیدواژه‌ها [English]

Convolutional encoder
Convolutional code
State diagram
Modified state diagram
Generating function
minimum free distance

مراجع

[1] Moreira, J. C., & Farrell, P. G. (2006). Essentials of error-control coding. John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/9780470035726

[2] Lin, S., & Costello, D. J. (2001). Error control coding (2 ed.). Pearson Education International. https://www.amazon.com/Error-Control-Coding-2nd-Shu/dp/0130426725

[3] Berrou, C. (2010). Codes and turbo codes. Springer. https://doi.org/10.1007/978-2-8178-0039-4

[4] Vucetic, B., & Yuan, J. (2002). Turbo codes: principles and applications. Springer Scienc e & Business Media. https://doi.org/10.1007/978-1-4615-4469-2

[5] Alfarano, G. N., & Lieb, J. (2021). On the left primeness of some polynomial matrices with applications to convolutional codes. Journal of Algebra and Its Applications, 20(11), 1-13. https://doi.org/10.1142/s0219498821502078

[6] Enma, L. P., Liu, J., & Wang, J. (2021). Improvement of radar detection capabilities for fluctuating targets using convolutional error control coding technique. Journal of P hysics: Conference Series, 1792(1), 1-6. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1792/1/ 012042

[7] Gómez-Torrecillas, J., Lobillo, F. J., & Navarro, G. (2021). Cyclic distances of idempoten t convolutional codes. Journal of Symbolic Computation, 102, 37-62. https://doi.org /10.1016/j.jsc.2019.10.008

[8] Raviv, T., Schwartz, A., & Be’ery, Y. (2021). Deep ensemble of weighted viterbi decoders for tail-biting convolutional codes. Entropy, 23(1), 1-13. https://doi.org/10.3390/e23010093

[9] Huffman, W. C., Kim, J-L., & Solé, P. (2021). Concise Encyclopedia of Coding Theory. Chapman and Hall/CRC. https://www.taylorfrancis.com/books/edit/10.1201/97813 15147901/concise-encyclopedia-coding-theory-cary-huffman-jon-lark-kim-patrick -sol%C3%A9

[10] Moon, T. K. (2020). Error correction coding: mathematical methods and algorithms (2 ed.). John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/0471739219

[11] MacWilliams, F. J., & Sloane, N. J. A. (1977). The theory of error correcting codes. No rth Holland. https://www.amazon.com/Theory-Error-Correcting-North-Holland-M athematical-Library/dp/0444851933

[12] Hashemi Talkhouncheh, S. A., & Shahbazi, A. (2020). Design, Simulation and Fabrication of a Mobile Jammer in GSM Bands. Karafan Quarterly Scientific Journal, 17(1), 27-41. https://doi.org/10.48301/kssa.2020.112755

[13] Talkhouncheh, S. A. H., & Basafa, A. (2021). Design of a Microstrip Bandpass Filter Using Metamaterials. Karafan Quarterly Scientific Journal, 17(4), 271-280. https://doi.org/10. 48301/kssa.2021.128406

[14] Esmaeili, M., & Gholami, M. (2009). Geometrically-structured maximum-girth LDPC block and convolutional codes. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 27(6), 831-845. https://doi.org/10.1109/JSAC.2009.090802