نوع مقاله : مقاله پژوهشی (نظری)
نویسندگان
1 کارشناسی ارشد، گروه مهندسی برق، آموزشکده شهید رجایی- قوچان، دانشگاه فنی و حرفه ای استان خراسان رضوی، ایران.
2 عضو هیئت علمی، گروه مهندسی برق، آموزشکده شهید رجا یی- قوچان، دانشگاه فنی و حرفه ای استان خراسان رضوی، ایران.
3 کارشناسی، گروه مهندسی برق، دانشکده مهندسی ، دانشگاه فردوسی مشهد، مشهد، ایران.
4 کارشناسی، گروه مهندسی عمران، دانشکده دارالفنون-بجنورد، دانشگاه فنی و حرفه ای استان خراسان شمالی، ایران.
چکیده
کلیدواژه‌ها
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
Increasing the electrical demand causes the expansion of distributed generation sources and the interconnection of power systems. In the integrated power system, stability is one of the vital issues. The instability of the power system may cause a blackout. Therefore, the analysis of stabilities and sensitivities should be considered in power system studies. In this paper, the sensitivity analysis and eigenvalue of the induction wind generator were investigated by using a proper nonlinear model. First, the dynamic equations of the wind turbine induction generator were presented. For this purpose, the induction generator was connected to an infinite bus through a short transmission line. Sensitivity analysis was performed by changing some important system parameters. In this study, by changing the inductance and resistance of the transmission line, the variations of the induction generator were analyzed separately. Then the ratio r to x of the transmission line was investigated. Finally, the eigenvalues were considered for analysis of the case study's stability. Differential equations of the case study were solved using the Rang-Kutta order-four method with MATLAB software.
کلیدواژه‌ها [English]
مقدمه
به دلیل برخی مسائل نظیر آلودگی محیط‌زیست، نگرانی از اتمام منابع فسیلی و کاهش هزینه انرژی، تلاش‌های قابل‌توجهی برای توسعه منابع انرژی تجدیدپذیر پاک نظیر انرژی باد صورت پذیرفته است[2-1]. پیش‌بینی میشود که در آینده، بیشتر ساختار تولید توان توسط سیستم قدرت به‌صورت منابع به‌هم‌پیوسته از انرژی‌های تجدیدپذیر نظیر باد و خورشید میشود[3]. در حال حاضر، در بین منابع انرژی تجدیدپذیر سیستم‌های بادی، توجیه اقتصادی بیشتری نسبت به دیگر منابع تجدیدپذیر دارند[4]. توربینهای بادی، ازجمله فناوری‌‌های مطرح در تولید انرژی پاک می‌باشند که امروزه با سرعت زیادی در حال پیشرفت هستند، علت پیشرفت سریع آن مسائل زیست‌محیطی، اقتصادی و افزایش تقاضای انرژی الکتریکی می‌باشد[6-5]. در نتیجه مطالعه در مورد اتصال این توربین‌ها به شبکه، بسیار مهم است[7]. ماشین‌های القایی قفس سنجابی به دلیل قیمت پایین، مقاوم بودن و سهولت نگهداری، به‌وفور در صنعت به کار می‌روند .همین مزایا این ماشین را به‌عنوان گزینه‌ای مناسب برای استفاده در سیستم‌های بادی سرعت متغیر، مطرح می‌کند[9-8]. توربینهای بادی شامل توربینهای بادی سرعت ثابت و متغیر می‌باشند[10]. اکثر توربینهای بادی که امروزه نصب می‌شوند به علت اقتصادی بودن، مقاوم بودن، نصب آسان‌تر، از نوع قفس سنجابی انتخاب می‌شوند[11].
تحقیقات روی انرژی باد در مقیاس مختلف در حال پیشرفت است. از این‌رو استفاده از توربینهای باد در مقیاس کوچک، به‌عنوان یکی از منابع تولید پراکنده در نقاط دوردست و روستایی به‌سرعت در حال رشد می‌باشد[12]. این مدل توربین‌ها ویژگی‌ها و مزایای زیادی دارند[13].
از آنجایی که بررسی پایداری یک سیستم، از مهم‌ترین مطالعات در یک شبکه قدرت می‌باشد؛ در بسیاری از مطالعات، به آنالیز حساسیت و پایداری در یک سیستم قدرت پرداخته است[15-14]. در [16] به بررسی آنالیز حساسیت پارامترهای مختلف بر پایداری اغتشاشات کوچک روی سیستم قدرت پرداخته است. در [17] از روش جدیدی برای بررسی پایداری حالت گذرا با استفاده از آنالیز حساسیت و مقادیر ویژه پرداخته است.
بررسی رفتار و عملکرد ژنراتورهای بادی به دلیل طبیعت نوسانی توان باد ورودی به توربین آن‌ها و رفتار گذرای ناشی از آن، نیازمند مدل‌های مناسبی می‌باشند. رفتار دینامیکی ماشین القایی را می‌توان توسط معادلات دیفرانسیل مدل کرد. این معادلات دیفرانسیل به دلیل وابستگی به زمان و تغییرات سرعت روتور دارای پیچیدگی زیادی هستند که به‌منظور کاهش محاسبات و حل معادلات دیفرانسیل، متغیرها را می‌توان به چارچوب مرجع دلخواه انتقال داد که در سرعت زاویه‌ای اختیاری می‌چرخند[18].
در این مقاله، به بررسی آنالیز حساسیت و مقادیر ویژه ژنراتور القایی خودتحریک، با استفاده از مدل ساده دینامیکی پرداخته شده است. در ادامه، به‌منظور بررسی رفتار دینامیکی این ژنراتور و اتصال آن به شبکه، از یک خط انتقال کوتاه استفاده شده و با تغییر پارامترهای این خط، تغییرات پارامترهای مختلف ژنراتور القایی مطالعه شده است. در انتها به بررسی نتایج شبیه‌سازی و مطالعه بر تغییر پارامترها پرداخته‌شده است. مدل‌سازی سیستم به‌صورت تحلیلی با نوشتن معادلات دیفرانسیل حاکم بر رفتار آن انجام شده است. معادلات دیفرانسیل مذکور توسط روش رانگ کوتا مرتبه چهار، حل شده است.
مدل دینامیکی سیستم
شکل (1) مدل شبکه موردبررسی در این تحقیق را نشان می‌دهد. این مدل شامل دو باس می‌باشد که باس محلی، به ژنراتور القایی متصل میشود و باس بی‌نهایت، به خط انتقال کوتاه متصل است. به‌منظور بررسی رفتار دینامیکی ژنراتور باید این ژنراتور را به سیستم قدرت وصل کرد و درواقع سیستم‌های قدرت شامل ژنراتورهای مختلف و بار می‌باشند که از طریق شبکه‌های انتقال با هم در ارتباطند. برای تجزیه‌وتحلیل ساده، ژنراتورهای دیگر سیستم را می‌توان با یک واحد تولید بزرگ با ظرفیت بی‌نهایت نشان داد و خط انتقال را توسط یک مقاومت و یک اندوکتانس مدل کرد. باس بی‌نهایت، ولتاژ و فرکانس ثابت دارد و هیچ‌یک از آن‌ها تحت تأثیر ژنراتور موردمطالعه تغییر نمی‌کنند. این بدین معناست که ولتاژ شبکه را می‌توان به‌عنوان مرجع در نظر گرفت.
شکل1. ژنراتور بادی اتصال سری متصل به باس بی‌نهایت
حال به‌منظور بررسی دینامیکی این مدل، نیاز به نوشتن معادله دیفرانسیل d-q، برای ژنراتور القایی اتصال سری و خط انتقال می‌باشد.
مدل دینامیکی ژنراتور القایی
به‌طورکلی می‌توان معادلات دیفرانسیلی ژنراتور القایی را به‌صورت زیر نوشت [18]:
|
(1) |
|
|
(2) |
|
|
(3) |
|
|
(4) |
که و به‌ترتیب مقاومت‌های روتور و استاتور، و جریان‌های انتقال‌یافته استاتور به محورهای q و d ، و جریان‌های انتقال‌یافته رتور به محورهای q و d، و ولتاژهای انتقال‌یافته به محورهای d و q، فرکانس زاویه الکتریکی ولتاژ منبع می‌باشند.
در معادلات (1) تا (4) مقادیر رتور به سمت استاتور ارجاع داده‌شده است. شارهای پیوندی در این معادلات از روابط (5) به‌دست میآید:
|
(5) |
|
که و به‌ترتیب اندوکتانس‌های نشتی استاتور و رتور، ماکزیمم اندوکتانس متقابل رتور و استاتور می‌باشند.
با تغییر در جهت جریان در سیم‌پیچی استاتور می‌توان از این ماشین به‌صورت ژنراتور استفاده کرد. معادله گشتاور برای این ماشین در حالت ژنراتوری از رابطه (6) به دست میآید [18].
|
(6) |
که گشتاور مکانیکی بار، گشتاور الکترومغناطیسی توسعه‌یافته، سرعت مکانیکی روتور می‌باشند.
به‌طورکلی می‌توان معادلات دیفرانسیلی ژنراتور القایی را با توجه به (7) به‌صورت زیر نوشت:
|
(7) |
|
|
که (8) |
|
|
(9) |
|
|
(10) |
|
|
(11) |
مدل دینامیکی توربین بادی
توربین بادی، به‌وسیله مشخصه توان-سرعت آن توصیف میشود. توربینهای بادی ،انرژی جنبشی باد را مهار و آن را به انرژی الکتریکی تبدیل می‌کنند[20-19]. توان قابل‌تولید یک توربین بادی مطابق با فرمول‌های مربوطه متناسب با سطح دایره‌ای شکل است که از چرخش پره‌های روتور حاصل میشود. به این دلیل با توجه به شرایط باد هر منطقه و میزان توان نامی توربین، پره‌های روتور در اندازه‌های متفاوت ساخته می‌شوند و توان آن توسط رابطه (12) به دست میآید [18].
|
(12) |
که مساحت سطح گردش روتور، سرعت باد، چگالی هوا و ضریب قدرت نامیده میشود که طبق تعریف، درصدی از انرژی باد است که به انرژی مکانیکی تبدیل میشود. درواقع تابعی از نسبت سرعت نوک بال است و به‌صورت زیر معرفی میشود:
|
(13) |
که:
|
(14) |
که سرعت نوک رتور، سرعت نسبت نوک پره به‌سرعت باد، زاویه پره می‌باشند.
مدل دینامیکی خط انتقال
خط انتقال در نظر گرفته‌شده دارای امپدانس است، جریان را به باس بی‌نهایت تزریق می‌کند. معادلات خط انتقال را در چارچوب مرجع سنکرون می‌توان به‌صورت (15) بیان کرد.
|
(15) |
|
که جریان خط انتقال به جریان ژنراتور القایی وابسته می‌باشد:
|
(16) |
مدل دینامیکی شبکه
با جایگذاری (15) در روابط (1) و (2) می‌توان از ولتاژهای باس بی‌نهایت به‌منظور بیان ولتاژهای باس ژنراتور استفاده کرد. با جایگذاری این روابط در یکدیگر داریم.
|
(17) |
که :
|
(18) |
که و به‌ترتیب ولتاژهای انتقال‌یافته شبکه بی‌نهایت به محورهای d و q می‌باشند.
جریان‌های سیستم عبارتند از:
|
(19) |
همچنین پارامترهای دیگر رابطه (16) نظیر و برابرند با:
|
(20) |
|
|
(21) |
از این بحث می‌توان به این نتیجه رسید که رفتار دینامیکی این ساختار را می‌توان به‌وسیله معادلات دیفرانسیلی با متغیرهای ، ، ، و بیان کرد. این معادلات را می‌توان به روش رانگ-کوتا مرتبه چهارم حل نمود.
نتایجشبیه‌سازی
شبیه‌سازی‌ها بر روی شبکه، مطابق شکل (1) صورت گرفته است. پارامترهای ماشین القایی سه فاز رتور سیم‌پیچی شده در نظر گرفته برای این تحقیق عبارتند از: توان نامی ماشین KW 3.6، فرکانس Hz50، 415 ولت، 8/7 آمپر، 4 قطب، mH4 /11L1r=L1s=، mH180Lm= ، 7/1= Rs و 7/2 Rr= اهم می‌باشند[20] پارامترهای خط انتقال کوتاه و مورد استفاده قرار گرفته است.
برای حل عددی معادلات دیفرانسیل سیستم به شرایط اولیه متغیرهای حالت نیاز است. مقادیر اولیه این متغیرها حالت گذرای شروع حل معادلات را تعیین می‌کنند. برای واقعی‌تر شدن جواب‌ها سرعت اولیه ماشین برابر سرعت سنکرون و جریان‌های اولیه ماشین مساوی صفر قرار داده شده‌اند[18]. البته برای مشاهده اثر شرایط اولیه تحلیل با سرعت‌های اولیه مختلف نیز انجام شده است. شکل (2) منحنی تغییرات زمانی سرعت ژنراتور القایی را از ابتدای حل با سرعت اولیه برابر سرعت سنکرون نشان می‌دهد. مطابق شکل پس از کمی افت دور اولیه، سرعت ژنراتور به‌آرامی افزایش می‌یابد و به سرعتی بالاتر از سرعت سنکرون می‌رسد.
شکل 2. منحنی مشخصه سرعت-زمان ژنراتور القایی متصل به شبکه
شکل (3) منحنی مشخصه گشتاور-زمان را نشان می‌دهد، مقدار این گشتاور پس از حالت گذرای اولیه در حدود 1/0 ثانیه به 10 نیوتن متر می‌رسد. مطابق شکل 3، ژنراتور القایی دارای گشتاور حالت گذرای نسبتاً زیادی می‌باشد.
شکل 3. منحنی مشخصه گشتاور-زمان ژنراتور القایی متصل به شبکه
شکل(4) منحنی مشخصه گشتاور- لغزش را در ژنراتور القایی متصل به شبکه را نشان می‌دهد که راه‌اندازی ژنراتور در سرعت سنکرون می‌باشد.
شکل 4. منحنی مشخصه گشتاور-لغزش ژنراتور القایی متصل به شبکه
شکل‌های (5) تا (8) منحنی مشخصه جریان‌های ژنراتور القایی متصل به شبکه را نشان می‌دهند.
شکل 5. منحنی مشخصهجریان idsژنراتور القایی متصل به شبکه
شکل 6. منحنی مشخصهجریان idrژنراتور القایی متصل به شبکه
شکل 7. منحنی مشخصهجریان iqrژنراتور القایی متصل به شبکه
شکل 8. منحنی مشخصهجریان iqsژنراتور القایی متصل به شبکه
آنالیز حساسیت
در این قسمت، تحلیل حساسیت عملکرد ماشین با شرایط اولیه مختلف حل و تغییر پارامترهای سیستم و تأثیر آن‌ها بر پاسخ‌های گذرا و ماندگار موردمطالعه بررسی شده است. در ادامه با استفاده از این آنالیز حساسیت، به بررسی مقادیر ویژه سیستم و پایداری آن در صورت تغییر در پارامترهای مورد مطالعاتی پرداخته شده است.
بررسی تغییرات در اندوکتانس خط انتقال
مدل خط انتقال کوتاه، شامل یک مقاومت و یک راکتانس است. خط انتقال، یکی از مهم‌ترین قسمت‌های سیستم قدرت می‌باشد[22]. در ادامه با تغییر در اندوکتانس خط و به بررسی تغییرات آن بر پارامترهای مختلف سیستم پرداخته شده است. شکل (9) منحنی مشخصه سرعت-زمان را با تغییر در اندوکتانس خط انتقال نشان می‌دهد با افزایش این نسبت، سرعت ژنراتور افزایش پیدا می‌کند.
|
شکل9. منحنی مشخصه سرعت-زمان با تغییر در اندوکتانس خط انتقال |
شکل‌های (10) تا (13) تغییرات جریان محورهای d-q ژنراتور القایی را با تغییرات در نسبت اندوکتانس خط انتقال را نشان می‌دهند که بعد از حالت گذرا، به مقدار حالت پایدار خود می‌رسند.
شکل10. تغییرات جریان iqs ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل11. تغییرات جریان ids ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل12. تغییرات جریان iqr ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل13. تغییرات جریان idr ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل (14) تغییرات گشتاور را با تغییر در اندوکتانس خط انتقال نشان می‌دهد که بعد از عبور از حالت گذرای اولیه، ثابت میشود و البته با افزایش اندوکتانس خط انتقال، حالت گذرای گشتاور کاهش می‌یابد.
شکل 14. منحنی مشخصه گشتاور-زمان ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
بررسی تغییرات در مقاومت خط انتقال
شکل (15) منحنی مشخصه سرعت-زمان را با تغییر در مقاومت خط انتقال نشان می‌دهد؛ با افزایش این مقدار سرعت ژنراتور القایی کمی کاهش می‌یابد.
شکل15. منحنی مشخصه سرعت-زمان با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل (16) تغییرات گشتاور را با تغییر در اندوکتانس خط انتقال نشان می‌دهد که بعد از عبور از حالت گذرای اولیه، ثابت میشود و البته با افزایش اندوکتانس خط انتقال حالت گذرای گشتاور، کاهش می‌یابد.
شکل16. منحنی مشخصه گشتاور-زمان ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل‌های (17) تا (20) تغییرات جریان محورهای d-q ژنراتور القایی را با تغییرات در نسبت اندوکتانس خط انتقال را نشان می‌دهند که پس از حالت گذرای به مقدار حالت پایدار خود می‌رسند. مطابق شکل‌ها با افزایش مقاومت خط انتقال اندازه حالت گذرا در جریان‌های ژنراتور کاهش می‌یابد.
شکل 17. تغییرات جریان iqs ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل 18. تغییرات جریان ids ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل 19. تغییرات جریان iqr ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
شکل 20. تغییرات جریان iqr ژنراتور القایی با تغییر در اندوکتانس خط انتقال
تغییر در نسبت خط انتقال
از مشخصاتی که در تحلیل عملکرد ژنراتور به‌منظور افزایش دقت محاسبات نیاز به بررسی دارد نسبت خط انتقال می‌باشد[22]. شکل (21) منحنی مشخصه سرعت-زمان را با تغییرات نسبت خط انتقال نشان می‌دهد؛ با افزایش این نسبت، سرعت ژنراتور افزایش پیدا می‌کند.
شکل 21. منحنی مشخصه سرعت-زمان با تغییر در نسبت خط انتقال
شکل (22) تغییرات گشتاور را با نسبت خط انتقال نشان می‌دهد که بعد از نوسان نسبتاً زیادی، ثابت میشود ولی این تغییرات، تأثیری در مقدار حالت پایدار ندارد.
شکل 22. منحنی مشخصه گشتاور-زمان با تغییر در نسبت خط انتقال
شکل(23) تا (26) تغییرات جریان‌های ژنراتور را با تغییرات خط را نشان می‌دهند. همان‌طور که مشاهده میشود با تغییر جریان ابتدا نوسان می‌کند و سپس به مقدار حالت پایدار خود می‌رسد.
شکل 23. منحنی مشخصه جریان iqs با تغییر در نسبت خط انتقال
شکل 24. منحنی مشخصه جریان iqr با تغییر در نسبت خط انتقال
شکل 25. منحنی جریان ids با تغییر در نسبت خط انتقال
شکل 26. منحنی مشخصه جریان idr با تغییر در نسبت خط انتقال
بررسی مقادیر ویژه
معادلات (21) توصیف‌کننده یک سیستم قدرت، شامل مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیلی است که به‌طورکلی غیرخطی‌اند.
|
(22) |
|
پایداری یک نقطه تعادل سیستم دیفرانسیلی- جبری برای یک مقدار معینP ، به مقادیر ویژه ماتریس حالت A بستگی دارد [18]. با استفاده از ماتریس، ژاکوبین کاهش می‌یابد. نقاط تعادل سیستم، مقادیر ویژه سیستم در جدول (1) نشان داده شده است که همه مقادیر ویژه در سمت چپ محور موهومی قرار دارند و پایداری سیستم موردمطالعه را تأیید می‌کنند. محدوده تغییرات پارامترهای تجهیزات در پایداری سیستم قدرت بسیار ضروری می‌باشد. با توجه مقادیر ویژه در یک سیستم قدرت می‌توان به بررسی پایداری آن سیستم پرداخت.
همان‌طور که در جدول نیز مشاهده میشود تمامی صفر و قطب‌ها در سمت چپ محور مختصات قرار دارند که نشان‌دهنده پایداری سیستم می‌باشد. در صورت وجود صفر یا قطبی در سمت راست سیستم ناپایدار خواهد بود و با توجه به تغییر در آنالیز حساسیت پارامترهای مختلف می‌توان آن را پایدار کرد.
|
i292+09/69- |
|
|
i292-09/69- |
|
|
-422/7- |
|
|
i05/1+02/108- |
|
|
i05/1-02/108- |
جدول 1. مقادیر ویژه سیستم با تغییرات در نسبت خط انتقال در حالت پایدار
شکل27. مکان هندسی ریشه‌ها
نتیجه‌گیری
در این مقاله به بررسی آنالیز حساسیت و مقادیر ویژه ژنراتور القایی خودتحریک متصل به شبکه به‌منظور پایداری آن پرداخته شد. بدین منظور ابتدا از مدل ساده ماشین الکتریکی به‌منظور بیان روابط دینامیکی ژنراتور القایی استفاده شد. در این راستا از مدل ساده که ژنراتور القایی توسط خط انتقال کوتاهی به باس بی‌نهایت متصل شده استفاده گردید. ابتدا معادلات دیفرانسیل حاکم بر رفتار سیستم را به دست آورده سپس به آنالیز حساسیت پارامترهای مختلف سیستم پرداخته‌شده است. منحنی تغییرات سرعت ژنراتور القایی پس از کمی افت دور اولیه، سرعت ژنراتور به‌آرامی افزایش‌یافته و به سرعتی بالاتر از سرعت سنکرون می‌رسد. منحنی مشخصه گشتاور- لغزش را دارای مقدار لغزش منفی به دلیل عملکرد ماشین در حالت ژنراتوری می‌باشد. گشتاور ژنراتور القایی دارای حالت گذرای نسبتا زیادی است که پس از زمان نسبتا کوتاهی به مقدار دائمی خود می‌رسد. در ادامه منحنی مشخصه جریان‌های ژنراتور القایی به‌صورت d و q نشان داده شد. این جریان‌ها نیز پس از عبور از حالت گذرای اولیه به مقادیر نامی خود در حالت پایدار رسیدند.
تحلیل حساسیت عملکرد ماشین با شرایط اولیه مختلف حل و تغییر پارامترهای سیستم و تأثیر آن‌ها بر پاسخ‌های گذرا و ماندگار موردمطالعه قرارگرفت و با استفاده از این آنالیز حساسیت، به بررسی مقادیر ویژه سیستم و پایداری آن با تغییر در پارامترهای مختلف مورد بررسی قرار گرفت. شرایط اولیه انتخابی در حل عددی معادلات دیفرانسیل تأثیر بسزایی دارند که دامنه حالت گذرای مشخصه‌های ژنراتور در اثر آن تغییر می‌یابد و مقدار حالت گذرای پارامترهای ژنراتور افزایش می‌یابد البته این تغییرات تأثیری در مقدار حالت پایدار ندارد. تحلیل حساسیت بر روی تمامی پارامترهای مورد مطالعه ژنراتور صورت گرفت و همان‌طور که مشاهده گردید با افزایش مقادیر پارامترهای موردمطالعه، میزان حالت گذرا کاهش و پایداری سریع‌تر میشود.
در ادامه با تغییر در نسبت اندوکتانس و مقاومت خط انتقال به‌صورت جداگانه به تحلیل رفتار ژنراتور در اثر این تغییرات پرداخته شد و سپس نسبت خط انتقال که اهمیت به‌سزایی در پایداری سیستم دارند موردبررسی قرار گرفت. البته این تغییرات تأثیری در مقدار نهایی گشتاور ندارد اما مقادیر انتهایی جریان‌های ژنراتور با توجه به تغییر در امپدانس کل سیستم تغییر کرده است با توجه به نتایج مشاهده شد که مقدار مقاومت و اندوکتانس خط به‌صورت جداگانه تأثیر به‌سزایی در جواب سیستم دارد و تغییرات آن باعث تغییرات در پایداری سیستم موردمطالعه میشود. همان‌طور که در نتایج نیز مشاهده گردید با افزایش پارامترهای R و X میزان حالت گذار کاهش می‌یابد ولی تأثیر به‌سزایی در حالت دائمی منحنی مشخصه سرعت- زمان دارد در صورتی‌که این تغییرات تأثیر چندانی در حالت پایدار گشتاور ندارد.
در انتها با استفاده از معادلات حالت و مشخص کردن مقادیر ویژه کل سیستم در حالت پایدار به بررسی پایداری سیستم پرداخته شد. همان‌طور که مشاهده گردید در سیستم پایدار، تمامی صفر و قطب‌های مقادیر ویژه در سمت چپ مبدأ مختصات قرارگرفته‌اند که نشان‌دهنده پایداری سیستم می‌باشد. در صورت وجود صفر یا قطبی در سمت راست سیستم ناپایدار خواهد بود و با توجه به تغییر در آنالیز حساسیت پارامترهای مختلف می‌توان آن را پایدار کرد.
)
