نوع مقاله : مقاله پژوهشی (کاربردی)
نویسندگان
1 دپارتمان مهندسی مکانیک، دانشکده امام خمینی(ره)، واحد بهشهر، دانشگاه فنی‌و‌حرفه‌ای، مازندران، ایران
2 دپارتمان مهندسی مکانیک، دانشکده امام خمینی(ره)، دانشگاه فنی‌و‌حرفه‌ای مازندران، ایران
چکیده
کلیدواژه‌ها
عنوان مقاله [English]
نویسندگان [English]
In the present study, the thermal behavior of fluid in a square enclosure with two semi-circular constantis investigated numerically. The governing equations are solved by FlexPDE software, which is a simulation software base on the finite element method. The results showed that the distance between the two heaters will be a parameter affecting heat transfer; By reducing this distance, the natural convection heat transfer that is limited to the central part of the channel, is in the form of a symmetrical vertical column. Increasing the Hartmann number will lead to an increase in Lorentz force, a decrease in buoyancy force and consequently a decrease in temperature, a symmetrical temperature distribution and a predominance of conductive heat transfer. Increasing the Riley number increases the natural convection heat transfer in the form of free displacement, and by increasing the Riley number, the free-moving heat transfer will completely dominate the chamber.
کلیدواژه‌ها [English]
بررسی پدیده‌های طبیعی مانندِ جریان سیال، انتقال گرما و الکترومغناطیس همواره مورد توجه محققان بوده است[3-1]. در علوم مختلف جابه‌جایی طبیعی یکی از حالت‌های اصلی در انتقال گرماست. بر اساس رفتار و هندسه جریان، جابه‌جایی طبیعی می‌تواند از نوع داخلی یا خارجی باشد. طی جریان داخلی، سیال به وسیله مرزهای جامد احاطه می‌شود، در‌حالی‌که شی جامد، به وسیله سیال و طی جریان خارجی احاطه و پوشیده می‌شود. جریانِ در داخل لوله‌ها یا کانال‌ها مثال‌های مرسومی برای جریان‌های داخلی هستند. جریان روی صفحه مسطح، سیلندرها و کره‌ها نیز مثال‌هایی برای جریان خارجی هستند.
جریان‌های جابه‌جایی طبیعی به دلیل کوپل میدان جریان هیدرودینامیکی و گرمایی سیال از پیچیدگی برخوردارند. مسائل جریان داخلی پیچیدگی بیشتری نسبت به جریان‌های خارجی دارند. جریان‌های خارجی را می‌توان با استفاده از نظریه لایه مرزی مدل‌سازی کرد و این‌گونه انگاشت که ناحیه خارج از لایه مرزی، تحت تأثیر مرز جامد قرار نمی‌گیرد[4]. در مقابل، برای جابه‌جایی داخلی، اثر متقابل بین لایه مرزی و هسته مرکزی سبب ایجاد پیچیدگی در مسئله خواهد شد.
بر اساس شرایط مرزی گرمایی به‌کار‌رفته، سیستم‌های جابه‌جایی داخلی را می‌توان به دو دسته تقسیم کرد:
1. محفظه‌های بسته که از دیواره‌های جانبی گرما می‌گیرند (گرادیان دما عمود بر جهت گرانش است)؛
2. محفظه‌های بسته که از دیواره‌های پایینی گرما می‌گیرند (گرادیان دما موازی با جهت گرانش است)[4]. جابه‌جایی طبیعی در یک محفظه بسته گرمای متفاوت، نمونه‌ای برای نوع (الف) است و جابه‌جایی رایلی ـ برنارد بین دو صفحه افقی بی‌نهایت نمونه‌ای برای نوع (ب) است.
علاوه‌براین، شرایط مرزی دمایی دیگری نیز باید در ترکیب با هر دو نوع در بخش‌های مختلف دیواره‌ها قرار بگیرد. انواع مختلفی از الگوهای گرمایی جابه‌جایی طبیعی را می‌توان در بسیاری از کاربردهای مهندسی نام برد از جمله تجهیزات الکتریکی سرمایش[5]، سیستم‌های روغن‌کاری[6]، مبدل‌های گرمایی[7]، کلکتورهای انرژی خورشیدی[8]، اجاق‌های برقی[9]، سیستم‌های نمک‌زدایی خورشیدی[10] و فرایندهای ذوب و جامدسازی[11و12] اشاره کرد.
از جمله موضوعات مورد توجه در فناوری نوین که در مکانیک سیالات اهمیت بسیار دارد، مسئله مگنتوهیدرودینامیک (MHD) است که برهم‌کنش سیال و میدان مغناطیسی را توصیف می‌کند. مطالعۀ جریان مگنتوهیدرودینامیک در بسیاری از فرایندهای صنعتی برای کنترل نرخ سرمایش استفاده می‌شود. همچنین در رآکتورهای اتمی با دیواره‌های خنک‌کن[13]، ترمزهای هیدرومغناطیسی[14]، پمپ‌ها[16-15] و کاربردهای بیولوژیکی و شبیه‌سازی جریان خون[19-17] جریان مگنتوهیدرودینامیک قابل مشاهده است.
در دو دهه اخیر، انتقال حرارت جابه‌جایی طبیعی در محفظه‌ای بسته مربعی و مستطیلی در بسیاری از پژوهش‌ها بررسی شده است. در بیشتر این پژوهش‌ها تمرکز بر اثر شرایط مرزی، نسبت اندازه و انتقال حرارت متوسط جابه‌جایی طبیعی بوده است. کوپل بین میدان‌های هیدرودینامیکی و گرمایی در یک هندسه پیچیده از طریق نیروی شناوری، موجب سخت‌شدن مدل‌سازی ریاضی می‌شود؛ در نتیجه پژوهشگران مطالعات قابل‌توجهی بر جابه‌جایی طبیعی در محفظه‌های بستۀ غیر‌مستطیلی با دیواره‌های شیب‌دار، منحنی و موج‌دار انجام داده‌اند.
اثر نسبت اندازه بر الگوی جریان و انتقال انرژی در محفظه‌های بسته مستطیلی با دیواره دما‌ثابت داغ و سقف خنک‌شده با استفاده از فرمول‌های تابع جریان و سرعت توسط آیدین و همکاران[20] گزارش داده شده است. در ادامه، ساریس و همکاران[21] به صورت عددی، جابه‌جایی طبیعی در محفظه بسته مستطیلی با پروفیل دمای سینوسی بر دیواره بالایی و شرایط آدیاباتیک بر دیواره‌های پایینی و کناری را برررسی کرده‌اند. آن‌ها گزارش داده‌اند شدت چرخش سیال و عمق نفوذ دمایی با افزایش نسبت اندازه، افزایش می‌یابد.
باساک و همکاران[22]اثر شرایط مرزی دمایی بر جریان جابه‌جایی طبیعی در حفره مربعی را با استفاده از روش عددی المان محدود بررسی کرده‌اند. آن‌ها گزارش داده‌اند نرخ‌های کلی انتقال حرارت برای حالت گرمای غیر‌یکنواخت در مقایسه با حالت گرمای یکنواخت، کمتر است. وارول و همکاران[23] پدیدۀ جابه‌جایی آزاد در محفظه بستۀ مربعی‌شکل را که در گوشه آن هیتر قرار دارد، به صورت عددی بررسی کرده‌اند. آن‌ها از روش تفاضل محدود برای حل معادله‌های مونتم و انرژی استفاده کردند. محدودۀ عدد رایلی بین 103 تا 106 انتخاب شده است. اثر عدد رایلی، پرانتل و زاویه انحراف محفظه بسته نیز بررسی شده‌اند.
اثر تشعشع سطح بر جابه‌جایی محفظه بسته در حضور هیترهای مجزا توسط ساراوانان و همکاران[24] انجام گرفته است. جریان به وسیله هیترهای مجزا در یک محفظه بسته مربعی‌شکل ایجاد می‌شود. دیوارهای عمودی هم‌دما، سرد و متقارن و دیواره‌های افقی عایق در نظر گرفته شده است. معادله‌های دیفرانسیل جزئی حاکم نیز به روش حجم محدود حل شده‌اند.
کالوری و باساک[25] اثر گرمای توزیع‌شده بر جابه‌جایی طبیعی را در حفره مربعی از طریق رویکرد گرمایی مورد مطالعه قرار دادند. مطالعۀ آن‌ها نشان می‌دهد توزیع گرما و دمای مخلوط در حفره و در حالت گرمای توزیع‌شده در مقایسه با حالت دیواره پایینی گرم و دما‌ثابت، افزایش بسیاری خواهد داشت.
در سال‌های اخیر مطالعات فراوانی بر انتقال حرارت در محفظه بسته به روش‌های مختلف انجام شده است. لیما و گانزارلی[26] انتقال حرارت در محفظه بسته مربعی را که از دیواره‌های کناری سرد و گرم می‌شود و در داخل آن یک جسم جامد هادی قرار دارد، مطالعه کردند. اثر جسم مربعی بر انتقال حرارت پایا در محفظه بسته، برای عدد پرانتل مشخص و عدد رایلی‌های مختلف، نسبت محفظه بسته و ابعاد جسم و نسبت هدایت گرمایی جامد و سیال مورد بررسی قرار گرفت. از رویکرد خط گرمایی برای تحلیل انتقال گرما در محفظه بسته استفاده شده است. با افزایش اندازۀ جسم، عدد ناسلت نیز بر اندازۀ جسم و هدایت گرمایی آن وابسته می‌شود.
الواهیبی و همکاران[27] به صورت عددی انتقال حرارت جابه‌جایی طبیعی در یک محفظه بسته ذوزنقه‌ای پُرشده از نانوذرات را شبیه‌سازی و مطالعه کردند. دیواره‌های سمت چپ و راست محفظه بسته در دماهای مختلفی قرار داشته و دیواره‌های بالایی و پایینی عایق فرض شده‌اند. پس از اینکه معادلات دیفرانسیل جزئی حاکم بر مسئله با استفاده از پارامترهای بی‌بُعد به فرم بی‌بُعد‌شده درآمدند، روش باقیمانده وزنی گالرکین بر اساس روش المان محدود برای حل به کار گرفته شد. اثر پارامترهای مختلف از نظر عدد رایلی، نسبت اندازه، کسر حجمی و فاکتور شکل نانوذره بر خطوط جریان و دما به صورت نمودارهای مختلف ترسیم و مورد بحث قرار گرفته است. افزایش انتقال حرارت برای ترکیب‌های مختلف پارامترهای ذکر شده و همچنین عدد ناسلت متوسط بر دیواره گرما سمت چپ ارائه شده است.
مدل دو فازی بر اساس رویکرد پخش دوگانه برای مطالعه عددی جابه‌جایی طبیعی نانوسیال بر پایه آب در حفره‌های مربعی که توسط دو دیواره با دمای متفاوت گرما می‌بینند، توسط کوینتینو و همکاران[28] بررسی قرار گرفته است. فرض شده است پخش بروینین و گرمازدایی تنها مکانیزم لغزش است که فاز جامد می‌تواند سرعت نسبی قابل‌توجهی را با توجه به فاز مایع توسعه دهد. معادله‌های حاکم شامل پیوستگی، مومنتم و انرژی برای نانوسیال و پیوستگی برای نانوذره، با استفاده از کد محاسباتی حل شده‌اند که سه رابطۀ تجربی برای ارزیابی هدایت گرمایی مؤثر، لزجت دینامیکی مؤثر و ضریب پخش گرمازدایی را در خود دارد. از الگوریتم سیمپل برای کوپل سرعت و فشار استفاده شده است. شبیه‌سازی عددی برای سه نانوسیال متفاوت، قطرهای مختلف و کسر حجمی متوسط انجام شده است.
انتقال حرارت جابه‌جایی آزاد جریان نانوسیال آب ـ جیوه درون محفظه بسته با هیتر مرکزی و منبع گرمایی از سطح زیرین توسط ماهالاکشمی و همکاران[29] مورد بررسی قرار گرفت. اثر طول مرکز هیتر بر میدان جریان و دما در اعداد رایلی مختلف مورد تحلیل قرار گرفت. از روش عددی برای حل و تحلیل مسئله استفاده شده است. نتایج نشان داد با افزایش طول هیتر و افزایش عدد رایلی، انتقال حرارت نیز افزایش می‌یابد.
ما و همکاران[30] از روش عددی حجم محدود برای بررسی جریان جابه‌جایی آزاد نانوسیال در یک محفظه بسته مربعی استفاده کردند. محفظه بسته تحت تأثیر میدان مغناطیسی قرار گرفته است. معادله‌های حاکم با روش حجم محدود و الگوریتم سیمپل حل شده‌اند. نتایج نشان داد با افزایش عدد رایلی، نرخ انتقال حرارت می‌تواند تا بیش از سه برابر افزایش یابد. همچنین مشاهده شد که بیشترین انتقال حرارت در میدان مغناطیسی ضعیف رخ داده است.
دوتا و همکاران[31] به صورت عددی انتقال حرارت جابه‌جایی طبیعی هیدرومغناطیس را در یک محفظه بسته لوزی‌شکل مطالعه کردند. درون محفظه نانوسیال آب ـ مس، محدوده عدد رایلی 103 تا 106 در نظر گرفته شده است. محفظه دارای زاویه انحراف 30، 60 و 90 درجه است. نتایج بیانگر این واقعیت است که برای اعداد رایلی کوچک، با افزایش عدد هارتمن نرخ انتقال حرارت تقریباً تغییر نمی‌کند. ولی برای اعداد رایلی بزرگ‌تر از 105، افزایش میدان مغناطیسی موجب کاهش نرخ انتقال حرارت می‌شود.
بررسی جامع جابه‌جایی ترکیبی نانوسیال در شکل‌های مختلفی از محفظه بسته توسط ایزدی و همکاران[32] انجام گرفته است. هدف این پژوهش، بررسی مطالعاتی بوده که در این زمینه انجام گرفته است. این پژوهش به چهار بخش اصلی به نام‌های شکل‌های محفظه بسته مربعی (یا مستطیلی)، مثلثی، ذوزنقه‌ای و شکل‌های غیر‌متداول تقسیم‌بندی می‌شود. همچنین اطلاعات مهم در هر مورد به صورت جداول مجزا ارائه شده‌اند. بیشتر مطالعات گزارش داده‌اند که با افزایش غلظت حجمی نانوسیال، عدد رینولدز و عدد ریچاردسون، انتقال گرما به طور قابل‌توجهی افزایش می‌یابد.
هدف از پژوهش حاضر، بررسی عددی انتقال حرارت جابه‌جایی طبیعی در یک محفظه بسۀ گرم‌شده از طریق دو هیتر نیمه‌مدوّر است. از فِلِکس پی‌دی‌ای که از روش المان محدود استفاده می‌کند، برای شبیه‌سازی و حل مسئله استفاده شده است. همچنین تأثیر پارامترهای مختلف بر انتقال حرارت جابه‌جایی طبیعی مانندِ فاصله هیترها از یکدیگر، عدد هارتمن و عدد رایلی مورد بررسی قرار خواهند گرفت.
محفظه مورد بررسی در این پژوهش مطابق شکل شماره 1 مدل‌سازی می‌شود. محفظه بسته دو هیتر نیمه‌مدوّر در دیواره پایینی خود دارد. شعاع هر دو هیتر L05/0 و فاصله بین آن‌ها نیز D=d/L است. محفظه بسته مربعی و با طول ارتفاع برابر با L است. سطح هیترهای نیمه‌مدوّر دما ثابت و برابر با Th و دمای دیواره‌های عمودی نیز Tc بوده که از دمای Th کمتر است. سایر دیواره‌های محفظه بسته عایق هستند.
شکل شماره 1. شماتیک مسئله
معادله‌های بقای جرم، مومنتم و تعادل انرژی برای سیال تراکم‌ناپذیر در حالت پایا و دوبعدی به صورت زیر است:
(1)
(2)
(3)
(4)
معادله (1) معادله پیوستگی، معادلات (2 و 3) به ترتیب معادلات مومنتم در راستای x و y و معادله (4) معادله انرژی هستند.
در معادلات بالا، x و y به ترتیب فواصلی هستند که در امتداد راستای افقی و عمودی قرار دارند، u و v به ترتیب مؤلفه‌های سرعت در راستای x و y هستند. T نشانگر دما، g نشانگر شتاب گرانش، μ لزجت دینامیکی، p فشار، Th و Tc به ترتیب دمای دیواره گرم و سرد و r چگالی است.
پارامترهای بی‌بعد به صورت زیر تعریف می‌شوند[33]:
(5)
که n و a به ترتیب لزجت سینماتیکی و پخش گرمایی هستند، L ارتفاع یا طول مشخصه، X و Y سرعت بی‌بعد در راستای افقی و عمودی، U و V مؤلفه‌های سرعت افقی و عمودی، θ دمای بی‌بعد، و P فشار بی‌بعد هستند.
با استفاده از پارامترهای بی‌بعد تعریف‌شده در معادله (5) و قرار‌دادن در معادله‌های حاکم (4-1)، شکل بی‌بعد‌شدۀ معادلات حاکم به ترتیب زیر به دست خواهد آمد:
(6)
(7)
(8)
(9)
Ha، Ra و Pr به ترتیب اعداد هارتمن، رایلی و پرانتل هستند که به صورت زیر تعریف می‌شوند:
(10)
عدد ناسلت روی هیترها به صورت زیر تعریف می‌شود:
(11)
با توجه به مسئله تعریف‌شده و شکل شماره 1، شرایط مرزی برابر خواهد بود با:
(12):
در دیواره‌های چپ و راست
در دیواره بالایی
در دیواره زیرین جز سطح هیترها
روی سطح هیترها
که N فاصله بی‌بعد عمود بر X یا Y است.
همچنین فرضیه‌هایی که برای تعریف و حل مسئله در نظر گرفته شده، عبارت است از اینکه:
¢ سیال نیوتنی است؛
¢ سیال تراکم‌ناپذیر است؛
¢ جریان آرام و دوبعدی است؛
¢ خواص ترموفیزیکی، جز چگالی که وابسته به دماست، ثابت در نظر گرفته شده‌اند؛
¢ تقریب بوزینسک برای انتقال حرارت جابه‌جایی طبیعی در نظر گرفته شده است؛
¢ شرط عدم لغزش بر دیواره‌ها حاکم است؛
¢ از انتقال حرارت تشعشعی صرف‌نظر شده است؛
¢ عدد پرانتل برای آب برابر با هفت در نظر گرفته شده است؛
¢ دیواره‌ها رسانای الکتریکی نیستند.
در این پژوهش، برای شبیه‌سازی و حل از نرم‌افزار فِلِکس پی‌دی‌ای (FlexPDE) استفاده شده است. نرم‌افزار فلکس ابزار قدرتمندی برای برقراری ارتباط بین مدل ریاضی، حل عددی و نتایج گرافیکی است. این نرم‌افزار توان تحلیل طیف وسیعی از مسائل مهندسی مانندِ تنش، واکنش‌های شیمیایی و مدل‌سازی ریاضی مسائل واقعی و کاربردی را داراست؛ ازاین‌رو در سال‌های اخیر، استفاده از این نرم‌افزار برای حل مسائل درحال‌گسترش است[38-34]. فلکس نرم‌افزار مدل‌سازی مبتنی‌بر روش المان محدود به صورت کدنویسی و حلگر عددی است. در شکل شماره 2 مش‌بندی مسئله مورد حل در این پژوهش نشان داده شده است.
اساس این نرم‌افزار بر حل معادله‌های دیفرانسیلی مشتق جزئی به روش المان محدود است و در آن از مش‌بندی بی‌سازمان و مثلثی استفاده شده است. در واقع این نرم‌افزار حل مسائل مشتق جزئی را آسان‌تر می‌سازد. مراحل حل مسائل در این نرم‌افزار بدین شرح است:
¢ تحلیل اولیه معادله‌ها؛
¢ تشکیل مشتق‌ها، انتگرال‌ها و توابع روش اجزای محدود گالرکین؛
¢ ساختن ماتریس کوپل و حل آن؛
¢ نمایش گرافیکی پاسخ.
از مزایای استفاده از نرم‌افزار فلکس می‌توان به متن ـ باز‌بودن و سادگی استفاده از آن اشاره کرد. این نرم‌افزار، توانایی حل معادله‌های پیچیدۀ خطی و غیرخطی از نوع مشتق جزئی و معمولی را در سریع‌ترین زمان ممکن دارد. فلکس به‌طور خودکار فرایند تکرار نیوتن ـ رافسون اصلاح‌شده را در سیستم‌های غیرخطی اعمال می‌کند. از طرفی به واسطه متن ـ باز‌بودن آن، به‌راحتی به معادله‌های حاکم دسترسی وجود دارد و می‌توان تغییرات مورد نظر را بر این معادله‌ها یا بر ویژگی‌های ماده اعمال کرد. همچنین از دیگر ظرفیت‌های اصلی آن، حل معادله‌های پیچیدۀ غیرخطی است که در مکانیک سیالات و انتقال حرارت به‌وفور وجود دارد.
بیشتر برنامه‌هایی که تاکنون با موضوع مشابه ارائه شده‌اند، معمولاً با استفاده از روش‌های پیچیده و طولانی به دنبال پاسخ مسئله بوده و اغلب از ارائه خروجی‌های گرافیکی فراتر از نمودار دوبعدی عاجز بوده‌اند. در نرم‌افزار فلکس، بسیار ساده‌تر از روش‌های پیشین می‌توان به پاسخ دست یافت؛ ضمن اینکه با ارائه خروجی‌های گرافیکی نظیر کانتور در کنار نمودارهای دوبعدی، درک بهتر فیزیک مسئله برای کاربر مهیا می‌شود. ترسیم هندسه، معادله‌های حاکم، شرایط مرزی و سایر پارامترها از طریق کدنویسی مخصوص این نرم‌افزار صورت می‌پذیرد.
در نرم‌افزار فلکس، هر کد از بخش‌های اصلی (الزامی) و بخش‌های فرعی (دلخواه) تشکیل شده است که در ادامه شرح داده می‌شوند.
1. متغیرها: باید تمامی متغیرهای مجهولی که در مسئله مورد بررسی و حل قرار می‌گیرند مانندِ سرعت، فشار و دما برای نرم‌افزار مشخص شود؛
2. معادله‌ها: معادله‌های حاکم بر مسئله باید به‌طور دقیق برای نرم‌افزار معلوم شود. باید توجه داشت، فلکس به ازای هر متغیر تعریف‌شده، یک معادلۀ حاکم می‌خواهد؛
3. مرز‌ها: هندسه مسئله و شرایط مرزی بر هر مرز در این بخش به کد داده می‌شود؛
4. نمودارها: در این قسمت خروجی‌های حل به صورت نمودارهای دوبعدی، سه‌بعدی، کانتور و بُردار قابل‌رسم است؛
5. مقادیر اولیه: اگر مسئله وابسته به زمان باشد، شرایط اولیه زمانی در این قسمت تعریف خواهد شد.
1. مختصات: در این نرم‌افزار پیش‌فرض، مختصات کارتزین دوبعدی است و بسته به نوع مسئله می‌توان آن را تغییر داد؛
2. گزینه‌ها: در این قسمت می‌توان پیش‌فرض‌های نرم‌افزار را تغییر داد. برای مثال، پیش‌فرض خطایی که فلکس برای فرایند تکراری حل دارد 02/0 است که در این بخش می‌توان آن را تغییر داد؛
3. تعاریف: با توجه به معادله‌های حاکم و شرایط مرزی ممکن است یک‌سری ضرایب ثابت یا روابطی وابسته به متغیرهای اصلی ظاهر شوند. این ضرایب و روابط را می‌توان در قسمت تعاریف کد وارد کرد تا کنترل و دسترسی به آن‌ها ساده بوده و به‌راحتی بتوان آن‌ها را تغییر داد؛
برای توصیف ریاضی، المانی محدود با دو گره xi و xi+1 در نظر گرفته می‌شود. مقادیر مرتبط با هر گره ui و ui+1 تعیین می‌شود. با فرض اینکه تابع آزمایشی u=c1x+c2 باشد، خواهیم داشت:
(13)
(14)
شکل شماره 2. مش‌بندی مسئله در نرم‌افزار فلکس
با حل هم‌زمان معادله‌های 13 و 14 خواهیم داشت:
(15)
(16)
با جای‌گذاری رابطه 15 و 16 در معادله (13) و بازنویسی آن خواهیم داشت:
(17)
که:
(18)
در این بخش، اثر پارامترهای مختلف شامل فاصله دو هیتر، عدد رایلی و عدد هارتمن بر توزیع دما مورد مطالعه قرار می‌گیرد. همچنین نموداری برای عدد ناسلت ارائه خواهد شد. ابتدا باید نتایج به‌دست‌آمده در این پژوهش مورد اعتبار‌سنجی قرار گیرد. برای کنترل همگرایی نتایج، استقلال از مش‌بندی مورد بررسی قرار گرفته است (جدول شماره 1). ملاحظه می‌شود که از تعداد نتایج مستقل از مش‌بندی‌شده و این مقدار مش جهت بررسی مسئله مورد استفاده قرار می‌گیرد. همچنین برای بررسی درستی نتایج، مقایسۀ نتایج به‌دست‌آمده در این تحقیق با نتایج مرجع[39] مورد مقایسه قرار گرفت (جدول شماره 2) که از دقت قابل‌قبولی برخوردار است.
جدول شماره 1. نتایج استقلال از مش‌بندی (D=0. 5, Ra=108, Ha=2)
|
Nu |
تعداد سلول |
تعداد گره |
|
07/18 |
90 |
200 |
|
18/18 |
180 |
400 |
|
23/18 |
380 |
800 |
|
23/18 |
650 |
1200 |
جدول شماره 2. مقایسه عدد ناسلت (Nu) به‌دست‌آمده روی دیواره سرد با مرجع (D=0. 5, Ha=0)
|
Ra=106 |
Ra=104 |
||
|
مرجع[39] |
پژوهش حاضر |
مرجع[39] |
پژوهش حاضر |
|
82/8 |
78/8 |
24/2 |
28/2 |
در شکل شماره 2 کانتورهای هم‌دما برای یک عدد هارتمن (Ha=2) و عدد رایلی مشخص (Ra=105) در فواصل مختلف دو هیتر از یکدیگر نمایش داده شده است. به‌طورکلی مشاهده می‌شود سیال گرم شده و از اطراف هر دو هیتر به سمت بالا جریان می‌یابد. همچنین توزیع خطوط هم‌دما تقریباً در همه فواصل هیتر به صورت متقارن توزیع می‌شود. خطوط هم‌دما نیز تقریباً نسبت به یکدیگر موازی هستند، زیرا انتقال گرمای هدایت بر انتقال حرارت غالب بوده و با توجه به شکل هیترها که نیمه‌دایرۀ منطبق هستند، توزیع دما در صفحه میانی دو هیتر متقارن است.
در شکل شماره 3 کانتورهای هم‌دمای برای یک عدد هارتمن (Ha=2) و عدد رایلی مشخص (Ra=106) در فواصل مختلف دو هیتر از یکدیگر ترسیم شده است. در این حالت، اثر انتقال حرارت جابه‌جایی طبیعی نسبت به انتقال حرارت هدایت بیشتر خواهد بود. دلیل این امر، افزایش مقدار عدد رایلی است. هر اندازه D بزرگ‌تر باشد، هر هیتر به‌عنوان هیتری مستقل رفتار می‌کند و انتقال گرما به دیواره سرد عمودی کمتر خواهد بود؛ یعنی فاصلۀ بین دو هیتر پارامتر مهمی در کنترل انتقال حرارت خواهد بود. این امر سبب می‌شود توزیع دما به شکل ستون عمودی شکل در مرکز محفظه ایجاد شود. برای D=0.8، توزیع دمای هیتر در نزدیکی دیواره پایینی تقریباً موازی محور x خواهد بود و سپس یک جریان انتقال گرمای عمودی، بخش میانی سطح بسته را در‌بر‌می‌گیرد؛ به این دلیل که فاصلۀ هیترها از یکدیگر بسیار دور بوده و سبب می‌شود خطوط هم‌دما نزدیک دیواره‌های سرد، موازی با دیوارۀ عمودی باشند.
در شکل شماره 4 کانتورهای هم‌دمای برای عدد هارتمن (Ha=2) و عدد رایلی مشخص (Ra=107) در فواصل مختلف دو هیتر از یکدیگر ترسیم شده است. در این حالت، توزیع عمودی و ستونی قابل‌توجهی بین دو هیتر مشاهده می‌شود، زیرا در این حالت، هر دو هیتر به صورت یک هیتر مستقل عمل می‌کنند. لایه مرزی گرمایی نزدیک دیواره عمودی برای اعداد رایلی بسیار بزرگ، بسیار نازک خواهد شد. همچنین با کمتر‌شدن فاصله D هیترها، این لایۀ نیز نازک‌تر خواهد شد. در واقع در این حالت، جابه‌جایی آزاد کاملاً بر انتقال حرارت غالب خواهد شد.
|
D=0.2 |
D=0.4 |
|
D=0.6 |
D=0.8 |
شکل شماره 3. کانتورهای هم‌دما در (Ha=2, Ra=105) برای فواصل مختلف D
عدد ناسلت روی هیترها محاسبه شده است. به دلیل تقارنی که در مسئله وجود دارد، این عدد برای هر دو هیتر تقریباً یکسان است. در شکل شماره 5، تأثیر فاصلۀ دو هیتر از یکدیگر و تغییر عدد رایلی بر عدد ناسلت ترسیم شده است. مشاهده می‌شود بالاترین مقدار برای D=0.8 است و با افزایش عدد رایلی، تقریباً مقدار عدد ناسلت ثابت می‌شود.
اثر میدان مغناطیسی بر توزیع دما در شکل شماره 6 ترسیم شده است. مشاهده می‌شود با افزایش عدد هارتمن، اندازۀ خطوط هم‌دما کوچک‌تر و نمودار توزیع آن پخ‌تر می‌شود. همچنین توزیع دما به صورت متقارن خواهد بود. افزایش عدد هارتمن بیانگر افزایش شدت میدان مغناطیسی است. میدان مغناطیسی سبب ایجاد نیروی مقاوم در جهت حرکت به نام نیروی لورنتس می‌شود. این نیرو خلاف جهت نیروی شناوری عمل می‌کند. در واقع میدان مغناطیسی نقش کنترل‌کنندۀ جریان و توزیع دما را ایفا می‌کند. خطوط هم‌دما نشان می‌دهند با افزایش عدد هارتمن، مکانیزم انتقال حرارت هدایت بر محفظه حاکم خواهد بود.
در شکل شماره 7 نیز اثر عدد هارتمن بر توزیع دما برای عدد رایلی 105 ترسیم شده است. در این عدد رایلی نیز رفتار مشابهی با عدد رایلی کوچک‌تر قابل مشاهده است. همچنین با افزایش عدد هارتمن، نقش انتقال حرارت جابه‌جایی کمتر شده و انتقال حرارت هدایتی غالب می‌شود.
|
D=0.2 |
D=0.4 |
|
D=0.6 |
D=0.8 |
شکل شماره 4. کانتورهای هم‌دما در (Ha=2, Ra=106) برای فواصل مختلف D
در این تحقیق، انتقال حرارت در یک محفظه بسته مربعی که دو هیتر نیمه‌مدوّر در دیواره پایینی آن قرار دارد، مورد بررسی قرار گرفته است. برای شبیه‌سازی و حل معادله‌های حاکم از نرم‌افزار فلکس پی‌دی‌ای استفاده شده است که بر پایه روش عددی المان استوار است. معادله‌های حاکم بر جریان با استفاده از پارامترهای بی‌بعد به شکل بی‌بعد‌شده تبدیل شدند و اثر هریک از پارامترهای اثرگذار بر توزیع دما ترسیم و مورد بحث قرار گرفتند. نتایج کلی که از این پژوهش می‌توان دریافت بدین شرح است:
1. توزیع دما رفتار متقارنی داشته و عدد ناسلت نیز به دلیل تقارن برای هر دو هیتر مشابه است؛
2. با افزایش عدد هارتمن، میزان انتقال حرارت جابه‌جایی کاهش یافته و انتقال حرارت هدایتی غالب می‌شود؛
3. فاصلۀ دو هیتر از یکدیگر نقش مهمی در توزیع دما و انتقال حرارت دارد؛ به‌طوری‌که هرچه فاصلۀ هیترها کمتر شود، انتقال حرارت جابه‌جایی تنها محدود به بخش عمودی و ستونی شکل در مرکز محفظه خواهد شد و انتقال حرارت هدایتی بر دیواره‌ها غالب خواهد بود؛
4. با افزایش عدد رایلی، انتقال حرارت جابه‌جایی آزاد بر انتقال حرارت هدایت غالب خواهد بود؛ به‌طوری‌که با افزایش عدد رایلی، انتقال حرارت جابه‌جایی به طور کامل بر محفظۀ بسته غالب خواهد شد.
|
D=0.8 |
D=0.6 |
|
D=0.4 |
D=0.2 |
شکل شماره 5. کانتورهای هم‌دما در (Ha=2, Ra=107) برای فواصل مختلف D
شکل شماره 6. اثر فاصله دو هیتر و عدد رایلی بر عدد ناسلت
|
Ha=4 |
Ha=2 |
|
Ha=0 |
|
شکل شماره 7. کانتورهای هم‌دما در (D=0. 6, Ra=104) برای اعداد هارتمن مختلف
|
Ha=4 |
Ha=2 |
|
Ha=0 |
|
شکل شماره 8. کانتورهای هم‌دما در (D=0. 6, Ra=105) برای اعداد هارتمن مختلف
|
B0 |
میدان مغناطیسی (T) |
ρ |
فشار (kgm-1s-2) |
|
D |
فاصله بی‌بعد دو هیتر از یکدیگر |
P |
فشار بی‌بعد |
|
g |
شتاب گرانش (ms-2) |
Pr |
عدد پرانتل |
|
Ha |
عدد هارتمن |
Ra |
عدد رایلی |
|
L |
طول مشخصه (m) |
T |
دما (K) |
|
Nu |
عدد ناسلت |
|
|
|
علایم یونانی |
|||
|
μ |
لزجت دینامیکی (kgm-1s-1) |
θ |
دمای بی‌بعد |
|
ρ |
چگالی (kgm-3) |
σ |
هدایت الکتریکی (W-1. m-1) |
|
زیرنویس‌ها |
|||
|
C |
دمای سرد |
h |
دمای گرم |
)
