1. مقدمه

مبدل‌های توان DC-DC از اجزای استاندارد منابع تغذیه سوئیچینگ به شمار می‌آیند. از این مبدل‌ها در رایانه‌های شخصی و قابل‌حمل، تجهیزات اداری، PDAها، فضاپیماها، تجهیزات ارتباط ماهواره‌ای و راه‌اندازی موتورهای DC استفادۀ بسیار می‌شود. ورودی مبدل، ولتاژ DC تنظیم‌نشده و خروجی آن ولتاژی تنظیم‌شده با دامنۀ بیشتر یا کمتر، نسبت ورودی و با همان قطبیت یا با قطبیت معکوس است[1]. در این مبدل‌ها برای دستیابی به راندمان بالا از قابلیت کلید‌زنی عناصر قدرت (ماسفت، ترانزیستور دوقطبی و IGBT وغیره) استفاده می‌شود. این امر به این دلیل است که در حالت ایدئال و هنگام هدایت، افت ولتاژ این کلیدها صفر (در عمل ناچیز) و در زمان خاموشی جریان‌شان صفر (در عمل ناچیز) خواهد بود؛ ازاین‌رو همواره توان تلفاتی این قطعات به صورت ایدئال صفر است، اما به دلیل طبیعت غیرایدئال کلیدها و وجود مقاومت در حالت هدایت و صفر‌نشدن ناگهانی ولتاژ و جریان در زمان‌های کلید‌زنی، همواره تلفات توان بر روی آن‌ها قابل‌مشاهده است. این امر موجب می‌شود راندمان نوعی این مبدل‌ها در عمل حدود 95-70 درصد باشد[2]. در میان انواع مبدل‌های DC به DC، مبدل نوع کاهنده ـ افزاینده در کاربردهایی استفاده می‌شود که به ولتاژی کمتر یا بیشتر از ورودی و با قطبیت عکس در خروجی نیاز است. کنترل مبدل بوست نسبت به دیگر مبدل کاهنده (باک) مشکل‌تر است، زیرا این مبدل غیرمینیمم فاز بوده و صفری سمت راست محور موهومی دارد. به عبارت دیگر، ازآنجاکه ورودی کنترل (چرخه کاری پالس فرمان) در این تنظیم‌کننده هم در معادله‌های جریان و هم در معادله‌های ولتاژ حضور دارد، معادلات حالت و کنترل این رگلاتور مشکل‌تر است[3]. ساختار مبدل‌های DC به DC متشکل از دو بخش خطی (عناصر سلف، خازن و مقاومت) و غیرخطی (دیود و کلید فعال) است. همچنین به دلیل استفاده از خاصیت کلید‌زنی عناصر قدرت، عملکرد این مبدل‌ها با زمان تغییر می‌کند؛ ازاین‌رو این مبدل‌ها سیستم‌هایی غیرخطی و متغیر با زمان هستند و برای طراحی کنترل‌کننده‌های خطی لازم است مدل سیگنال کوچک‌شان را بر اساس روش خطی‌سازی حول یک نقطه کار مناسب از مدل متوسط فضای حالت به دست آوریم[4]. تحلیل سیگنال کوچک و طراحی کنترل‌کننده در حوزه فرکانس برای مبدل‌های DC به DC در مراجع[6 و 5] انجام شده است.

قدم اصلی در بررسی دقیق و بدون محافظه‌کاری مبدل‌های کاهنده ـ افزاینده و طراحی کنترل‌کننده برای آن‌ها، داشتن مدل کاملی است که تمامی پارامترهای سیستم (مقاومت حالت روشنایی دیود و کلید، اثر مقاومتی خازن و سلف، جریان نامشخصی که بار می‌تواند از مبدل دریافت کند) در آن لحاظ شده باشد؛ هرچند سابقۀ مدل متوسط فضای حالت به اواخر دهه هفتاد میلادی و کیوک و میدل بروک باز‌می‌گردد[7]. باسو (2001) به مدل مبدل کاهنده ـ افزاینده تنها با مقاومت سلف و خازن و جریان خروجی اشاره می‌کند[8]. نیم و همکارانش (1997) برای مدل، تنها پارامتر مقاومت خازن و جریان خروجی را در نظر می‌گیرد و کنترل‌کنندۀ مقاومی را طراحی می‌کند. او به‌صراحت بر پیچیده‌بودن مدل کامل اشاره دارد و از ارائه آن به صورت پارامتری خودداری می‌ورزد[9]. ورپرین (1990) مدل خطی کلید PWM را برای کلید و دیود ایدئال در حالت پیوستگی و ناپیوستگی جریان ارائه کرده است[10] و به تأثیر مقاومت‌های حالت روشن دیود و کلید بر روی مدل کلید PWM تنها اشاره‌ای مختصر دارد[11]. مدل متوسطی نیز برای کلید PWM در حضور مقاومت‌های کلید و دیود و افت ولتاژ آن‌ها در شرایط ناپیوستگی جریان و بدون ارائه مدل متوسط فضای حالت رگلاتور معرفی می‌شود[12]. مدل کامل مبدل کاهنده ـ افزاینده در حضور نامعینی‌های افت ولتاژ حالت هدایت کلیدها، مقاومت‌های پارازیتی قطعات و جریان بار، در مرجع[13] ارائه‌شده است. در زمینۀ طراحی کنترل‌کننده، سلیمی و همکاران (2015) یک کنترل‌کننده PI مد لغزشی را برای تنظیم ولتاژ خروجی رگولاتور کاهنده ـ افزاینده در حالت پیوستگی و ناپیوستگی جریان طرح کرده‌اند[14]. از روش بهینه‌سازی براساس الگوریتم فراابتکاری جست‌وجوی کوکو برای نصب بهینۀ پایدارساز سیستم قدرت[15] و از نرم‌افزار PSpice به منظور تبیین چگونگی عملکرد مدارهای فرمان تریستوری استفاده شده است[16]. استفاده از روش انتقال هیسترتیک به منظور جلوگیری از اثرات ناحیه مرده و هارمونیک‌های جزئی در مبدل کاهنده ـ افزاینده توسط رست‌رپو و همکارانش (2015) بررسی شده است[17].

در این مقاله، ابتدا مدل مبدل کاهنده ـ افزاینده در حضور کلیه پارامترهای سیستم معرفی می‌شود. سپس با حذف تعدادی از این نامعینی‌ها توابع تبدیل از ولتاژ خروجی تا ولتاژ ورودی و چرخه کاری محاسبه می‌شوند. در بخش سوم، ساختار کلی کنترل‌کننده‌ای ارائه خواهد شد و بر اساس روش مکان هندسی ریشه‌ها بهره کنترل‌کننده تنظیم می‌شود. بخش چهارم به شبیه‌سازی سیستم حلقه‌بسته تنظیم‌کننده کاهنده ـ افزاینده به همراه تمامی نامعینی‌ها در کنار کنترل‌کنندۀ طرح‌شده اختصاص دارد. در انتها به کمک تقویت‌کننده‌های عملیاتی مداری الکترونیکی برای کنترل‌کنندۀ طراحی‌شده پیاده‌سازی می‌شود که شبیه‌سازی مدار الکترونیکی مبدل و کنترل‌کننده در نرم‌افزار PLECS نشانگر مشابهت عملکرد مدار الکترونیکی طرح‌شده و شبیه‌سازی مدل سیستم و کنترل‌کننده در محیط سیمولینک متلب دارد.

2. معادله‌های حالت مبدل کاهنده ـ افزاینده در حضور کلیه نامعینی‌ها و ورودی‌های سیستم

در مدل‌سازی فضای حالت، متغیرهای حالت که اصولاً عناصر ذخیره‌کنندۀ انرژی مدار یا سیستم (مانندِ ولتاژ خازن و جریان سلف) هستند، نقشی اساسی ایفا می‌کنند. اگر حالت این متغیرها در یک زمان معلوم (معمولاً ) مشخص باشد، آنگاه می‌توان معادله‌های دیفرانسیلی نشان‌دهندۀ وضعیت سیستم را برای تمامی زمان‌های  حل کرد. در مدارهای الکتریکی و الکترونیکی، قدم نخست در مدل‌سازی، تبدیل مدار پیچیدۀ موجود به مدارهای پایه‌ای است که قوانین مداری در آن‌ها جاری باشد. ازآنجاکه در رگلاتورهای سوئیچینگ علاوه‌بر قطعات پایه، کلیدهای الکترونیکی نیز حضور دارند، در هنگام مدل‌سازی مجبور خواهیم شد، مدارمان را به دو ناحیه روشن (on) و خاموش (off) تقسیم کنیم. مدت زمان روشن‌بودن را با dt و مدت زمان خاموشی را با dʹT=(1-d)T نشان خواهیم داد. T پریود شکل موج ولتاژ خروجی در حالت دائم و نهایی است. شکل شماره 1 مدار مبدل سوئیچینگ کاهنده ـ افزاینده را نشان می‌دهد.

کلید توسط پالسی با دوره تناوب T و چرخه کاری d) پالس برای مدت زمان dt در وضعیت یک منطقی است (روشن و خاموش می‌شود). در زمان روشنایی کلید به دلیل پلاریته ولتاژ خروجی (خازن)، دیود خاموش و در مدت زمان خاموشی کلید، دیود از طریق ورودی و انرژی ذخیره‌شده در سلف روشن است؛ بنابراین می‌توان مدار معادل سیستم را در دو حالت  (مدت زمان dt (و off) مدت زمان
dʹT=(1-d)T به صورت شکل‌های 2 و 3 نشان داد.

شکل شماره 1. مدار رگلاتور کاهنده ـ افزاینده

شکل شماره 2. مدار معادل رگلاتور کاهنده ـ افزاینده در مدت زمان روشنایی (dt)

شکل شماره 3. مدار معادل رگلاتور کاهنده ـ افزاینده در مدت زمان خاموشی dʹT=(1-d)T

با درنظرگرفتن متغیرهای حالت به صورت  و   ، انتخاب ورودی‌های غیرقابل‌کنترل سیستم به فرم  و تعریف d به‌عنوان ورودی کنترل مبدل، باید مراحل زیر را برای تعیین معادله‌های حالت مبدل کاهنده ـ افزاینده پیمود.

1. تعیین مدارهای معادل مبدل در زمان‌های روشنایی (dt) و خاموشی dʹT=(1-d)T کلید مانند شکل‌های 2 و 3 و نوشتن معادله‌های حالت برای این مدارهای معادل. ماتریس‌های حالت مبدل کاهنده ـ افزاینده در این دو ناحیه به فرم مجموعه معادله‌های (1و2) است.

(1)

(2)

2. ترکیب معادله‌های حالت زمان‌های روشنایی و خاموشی به فرم معادله 3 و ایجاد یک دسته معادله حالت.

(3)                                                 

و

(4)          

(5)                                                          

(6)                                                                           

(7)                                                                                 

3. با فرض کارکرد مبدل در چرخه کاری نامی (d=t) نقطه کار سیستم را تعیین می‌کنیم. در نقطه کار نامی، حالات سیستم بدون تغییر بوده و داریم:

(8)

(9)             

(10)

4. خطی‌سازی معادلات حالت حول نقطه کار نامی با فرض تغییرات کوچک متغیرهای سیستم به صورت معادله‌های (11).

(11)                                                                                        

با جاگذاری متغیرهای فوق در معادله‌های حالت سیستم و ساده تغییرات کوچک متغیرها می‌توان معادله‌های حالت خطی‌شدۀ مبدل کاهنده ـ افزاینده را به فرم معادلات (12) نشان داد.

(12)                                                                                

که در آن ،  و  بوده و  تغییرات جریان سلف،  تغییرات ولتاژ خازن و  تغییرات ولتاژ خروجی رگلاتور است. ضرایب ماتریس حالت نیز عبارتند از:

(13)                 

(14)                                                        

(15)                                                                             

(16)                                                                                

(17)

که

(18)                                                             

و

(19)

و  تحت معادله (9) تعریف می‌شود. خوانندگان علاقه‌مند می‌توانند برای مطالعه بیشتر دربارۀ مدل‌سازی تنظیم‌کننده سوئیچینگ کاهنده ـ افزاینده به مرجع[13] مراجعه کنند. معادله‌های گفته‌شده کامل بوده و نشان‌دهندۀ میزان تأثیر کلیه ورودی‌ها، نامعینی‌ها و اغتشاش‌ها بر عملکرد سیستم هستند. از این معادله‌ها می‌توان برای شبیه‌سازی نهایی و تعیین میزان شایستگی عملکرد کنترل‌کننده طرح‌شده استفاده کرد، اما با حذف پاره‌ای از متغیرها می‌توان مدل را برای طراحی آسان‌تر کنترل‌کننده‌ها ساده‌تر کرد. با فرض عدم افت ولتاژ روی دیود و کلید، حذف مقاومت‌های پارازیتی قطعات  و چشم‌پوشی از جریان بار و افت ولتاژ حالت روشنایی کلیدها  داریم:

(20)

سیستم فوق دارای یک خروجی  و دو ورودی  است که توابع تبدیل از تغییرات کوچک ولتاژ خروجی  تا تغییرات کوچک ولتاژ ورودی  و چرخه کاری  را می‌توان به ترتیب به صورت معادلات (21) و (22) نشان داد.

(21)                                                                      

(22)                                                                     

که Dʹ همان 1-D است. آشکارا مشخص است تابع تبدیل مبدل از ولتاژ خروجی تا ورودی کنترل چرخه کاری یک صفر سمت راست محور موهومی دارد. وجود این صفر، طراحی کنترل‌کننده را برای رسیدن به پاسخ‌های مطلوب مشکل خواهد کرد.

3. طراحی کنترل‌کننده برای مبدل کاهنده ـ افزاینده بر اساس روش مکان هندسی ریشه‌ها

مکان هندسی ریشه‌ها روشی ترسیمی برای تعیین محل قطب‌های حلقه‌‌بسته سیستم بر اساس قطب‌های مدار باز و به ازای تغییرات بهره است. در عمل امکان آنکه نتوان با تنظیم بهره به مکان‌های مناسبی برای قطب‌های غالب سیستم حلقه‌بسته دست یافت (دست‌نیافتن به عملکرد مطلوب) وجود دارد. در این حالت برای جابه‌جایی قطب‌های حلقه‌‌بسته به مکان مناسبی برای جبران‌ساز نیاز خواهیم داشت. با افزودن قطب‌ها و صفرهایی به تابع تبدیل حلقه می‌توان مکان قطب‌ها و صفرها را برای جبران‌سازی لازم به شکل مطلوب تغییر داد تا علاوه بر پایداری، عملکرد مناسب نیز حاصل شود. به عبارت دیگر با استفاده از جبران‌ساز، مکان هندسی ریشه‌های حلقه را طوری تغییر می‌دهیم که یک جفت ریشه غالب برای معادله مشخصه حلقه‌‌بسته به دست آید.

مکان هندسی ریشه‌ها امکان رسیدن به ساختار کلی کنترل‌کننده و تنظیم دقیق پارامتر بهره کنترل‌کننده را ممکن می‌کند. شکل شماره 4 بلوک دیاگرام سیستم حلقه‌بسته مبدل را با فیدبک ولتاژ خروجی و کنترل‌کننده K(S) در سیستم ساده‌شده نشان می‌دهد. B نشان‌دهندۀ نسبت تبدیل مقسم ولتاژی است که برای نمونه‌برداری از ولتاژ خروجی به کار می‌رود و مقداری کوچک‌تر از یک داشته و به دلیل ساختار مقاومتی‌اش مستقل از فرکانس است.

اگر فرض کنیم کنترل‌کنندۀ مورد نظر در ساختاری ساده، تقویت‌کنندۀ تناسبی با بهره K(S)=K_P است، آن‌گاه مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته مبدل به ازای تغییرات بهره کنترل‌کنندۀ تناسبی یا K_p و فیدبک منفی واحد (B=1) از خروجی V_o تا ورودی چرخه کاری (d) به ترتیب در شکل‌های 5 و 6 به ازای دو ریشه حقیقی منفی و دو ریشه موهومی تابع تبدیل مبدل کاهنده ـ افزاینده نشان داده شده است. همان‌گونه که شکل‌های 5 و 6 نشان می‌دهند به ازای پاره‌ای از مقادیر بهره K_p ریشه‌های معادله مشخصه حلقه‌‌بسته سمت چپ محور jω قرار داشته و سیستم حلقه‌بسته پایدار است؛ ازاین‌رو به نظر می‌رسد سیستم به جبران‌ساز دیگری نیاز ندارد و می‌توان تنها با یک کنترل‌کنندۀ تناسبی، آن را به فرم مطلوب درآورد، اما واقعیت این است که در این شرایط، موقعیت ریشه‌های معادله مشخصه حلقه‌‌بسته دقیقاً به مقادیر قطب‌های حلقه باز مرتبط است و با تغییر مکان قطب‌های حلقه باز، مشخصۀ سیستم حلقه‌بسته تغییر می‌کند. ازسوی‌دیگر مطابق توابع تبدیل 21 و 22 قطب‌های حلقه باز به مقاومت بار و مقدار نامی چرخه کاری وابسته‌اند که به‌سادگی مقدارشان در مدار می‌تواند کم یا زیاد شود؛ در نتیجه با تغییر این پارامترها وضعیت تابع تبدیل مبدل و در پی آن مشخصه حلقه‌‌بسته، دستخوش تغییر خواهد شد. همچنین تابع تبدیل حلقه با کنترل‌کننده K_p هیچ قطبی در مبدأ ندارد. به عبارت دیگر، نوع سیستم با کنترل‌کنندۀ تناسبی صفر و خطای حالت ماندگار سیستم حلقه‌بسته نسبت به ورودی پله نمی‌تواند صفر شود؛ ازاین‌رو برای دستیابی به اهداف کنترلی، زیر‌کنترل‌کننده‌ای را با تابع تبدیل معادله 23 برای سیستم در نظر می‌گیریم.

(23)                                                                                       

1. خطای حالت ماندگار سیستم به ورودی پله صفر شود؛ ازاین‌رو تابع تبدیل حلقه یا حاصل‌ضرب تابع تبدیل مبدل در تابع تبدیل کنترل‌کننده حداقل از مرتبه 1 باشد؛ یعنی کنترل‌کننده باید قطبی روی مبدأ داشته باشد.

2. ازآنجاکه تابع تبدیل حلقه باز سیستم (معادله 22) دارای بهره منفی است، برای آنکه زاویه مجانب‌های حلقه‌‌بسته برابر 180 درجه شود، برای کنترل‌کننده صفری در سمت چپ محور jω با مقدار
 -Z انتخاب می‌کنیم. اندازۀ این صفر باید بزرگ باشد (صفر کنترل‌کننده دور از محور jω باشد) تا بتواند دو قطب اصلی مبدل (حقیقی یا موهومی) را به سمت خود جذب کند و بدین‌ترتیب عملکرد حلقه‌‌بسته تحت تأثیر این دو قطب قرار نگیرد.

3. برای کنترل‌کننده قطبی سمت چپ محور jω در -p را به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که نسبت به دو قطب مبدل (ریشه‌های مخرج تابع تبدیل 21 یا 22) به محور jω نزدیک‌تر باشد. بدین‌ ترتیب می‌توان دو قطب غالب سیستم حلقه‌بسته را که با افزایش بهره به سمت راست محور jω میل می‌نمایند، برابر قطب در مبدأ و قطب دیگر کنترل‌کننده در نظر گرفت.

شکل شماره 4. بلوک دیاگرام سیستم حلقه‌بسته مبدل با فیدبک ولتاژ خروجی و کنترل‌کننده K(s)

شکل شماره 5. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته مبدل کاهنده ـ افزاینده به ازای دو ریشه حقیقی منفی

شکل شماره 6. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته مبدل کاهنده ـ افزاینده به ازای دو ریشه موهومی

4. چگونگی انتخاب پارامترهای کنترل‌کننده

برای بررسی عملکرد کنترل‌کنندۀ طرح‌شده، مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته را بر اساس موقعیت صفر سمت راست، مکان فرضی دو قطب سمت چپ و بهره منفی مبدل از‌یک‌سو و قطب‌ها و صفرهای کنترل‌کننده ازسوی‌دیگر در شکل‌های 7 تا 16 رسم کرده‌ایم. در این میان، مکان هندسی شکل‌های 7، 12، 13 و 16وضعیت مطلوب برای عملکرد سیستم حلقه‌بسته نیستند، چراکه در این حالات همچنان دو قطب مبدل به طرف راست کشیده می‌شوند و چون قطب‌های مبدل در اثر ورودی، بار و چرخه کاری تغییر می‌کنند؛ بنابراین باز هم عملکرد سیستم حلقه‌بسته حساسیت بسیار بالایی خواهد داشت؛ ازاین‌رو مراحل زیر را برای انتخاب ضرایب کنترل‌کننده در نظر می‌گیریم تا مکان قطب‌های حلقه‌‌بسته تحت اثر مکان قطب‌های کنترل‌کننده قرار گیرد.

1. به کمک معادلات کامل ارائه‌شده برای مبدل کاهنده ـ افزاینده، قطب‌های حلقه باز رگولاتور تعیین و حداقل و حداکثر فاصله این قطب‌ها از محور jω مشخص می‌شود؛

2. برای آنکه صفر کنترل‌کننده بتواند قطب‌های مبدل را جذب کند. پارامتر این صفر (Z) حدود 10 برابر حداکثر فاصله به‌دست‌آمده از مرحله 1 انتخاب می‌شود؛

3. برای آنکه عملکرد سیستم حلقه‌بسته تحت تأثیر مکان قطب‌های مبدل قرار نگیرد، پارامتر قطب کنترل‌کننده (p) حدود 9/0 حداقل فاصله حاصل از مرحله 1 انتخاب می‌شود. این قطب نباید خیلی کوچک شود چون بر مکان قطب‌های غالب سیستم حلقه‌بسته تأثیر خواهد گذاشت و با کوچک‌کردن فاصلۀ آن‌ها از محور jω زمان نشست را بزرگ می‌کند؛

4. پس از مشخص‌شدن ساختار کلی کنترل‌کننده می‌توان پارامتر بهرۀ کنترل‌کننده را از طریق رسم مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته در حضور کنترل‌کننده به دست آورد. پارامتر بهره برای رسیدن به =0.7ζ یا فراجهش 5 درصد انتخاب می‌شود.

شکل شماره 7. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض حقیقی‌بودن قطب‌های مبدل و قرار‌داشتن مابین صفر و قطب کنترل‌کننده

شکل شماره 8. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض حقیقی‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن صفر کنترل‌کننده در میان قطب‌های مبدل

شکل شماره 9. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض حقیقی‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن قطب کنترل‌کننده پیش از قطب‌های مبدل و صفر کنترل‌کننده در میان قطب‌های مبدل

شکل شماره 10. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض حقیقی‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن قطب کنترل‌کننده پیش از قطب‌های مبدل و صفر کنترل‌کننده پس از قطب‌های مبدل

شکل شماره 11. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض مختلط‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن مابین قطب و صفر کنترل‌کننده

شکل شماره 12. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض مختلط‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن مابین صفر و قطب کنترل‌کننده

شکل شماره 13. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض موهومی‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن قطب‌های مبدل پس از صفر و قطب کنترل‌کننده

شکل شماره 14. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض موهومی‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن قطب‌های مبدل پس از قطب و صفر کنترل‌کننده

شکل شماره 15. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض موهومی‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن پیش از قطب و صفر کنترل‌کننده

شکل شماره 16. مکان هندسی ریشه‌های سیستم حلقه‌بسته با فرض موهومی‌بودن قطب‌های مبدل و قرارداشتن پیش از صفر و قطب کنترل‌کننده

5. پیاده‌سازی مدار الکترونیکی کنترل‌کنندۀ طرح‌شده

برای پیاده‌سازی کنترل‌کنندۀ طرح‌شده از مدار الکترونیکی شکل شماره 17 استفاده شده است و تابع تبدیل آن عبارت است از:

شکل شماره 17. مدار الکترونیکی کنترل‌کنندۀ طرح‌شده

(24)                                                          

(25)                                                     

بنابراین:

(26)                                             

بر پایه هم‌ارزی معادله‌های (23 و 26) برای طراحی مدار الکتریکی باید داشته باشیم:

(27)                                                                    

(28)                                                                      

(29)                                                                                

با انتخاب مقادیر اولیه دلخواه برای C₂, C₁ و R می‌توان با معلوم‌بودن ساختار کنترل‌کننده
 (p, z و k مشخص) از معادله (27) مقاومت R₁ از معادله (28) مقاومت R₂ و از معادله (29) مقدار مقاومت R₃ را به دست آوردیم.

6. طراحی و پیاده‌سازی کنترل‌کننده برای یک نمونه مبدل کاهنده ـ افزاینده واقعی

شکل شماره 18 مبدل کاهنده ـ افزاینده‌ای را در حالت جریان پیوسته نشان می‌دهد که برای تبدیل ولتاژ ورودی  باتری ماشین به ولتاژ  مورد نیاز لپ‌تاپ استفاده شده است. مشخصات مدار ، ، ، ، ، مقاومت‌های پارازیتی دیود، ماسفت خازن ، مقاومت پارازیتی دیود ، افت ولتاژ دیود  و افت ولتاژ ماسفت  در نظر گرفته شده‌اند. با توجه به مقدار ولتاژهای ورودی و خروجی، چرخه کاری مبدل  خواهد بود.

بر اساس مدل کامل، مبدل کاهنده ـ افزاینده و معادلات (12 تا 19) رگولاتور دو قطب مختلط در مکان‌های  دارد که در فاصله تا محور jω قرار دارند. ازآنجاکه قطب‌های مبدل مختلط‌اند، حداقل و حداکثر فاصله‌شان از محور موهومی یکسان است؛ ازاین‌رو اندازۀ قطب کنترل‌کننده (p) را 9/0 این فاصله یعنی 863 و اندازه صفر (z) آن را ده برابر یا 9590 انتخاب می‌کنیم. به عبارت دیگر ساختار کلی کنترل‌کنندۀ طرح‌شده به صورت معادله (30) خواهد بود که تعیین ضریب بهره (k) آن بر اساس مکان هندسی ریشه‌های تابع تبدیل حلقه‌‌بسته از خروجی V_o تا ورودی کنترل d صورت می‌گیرد. مکان هندسی این تابع بر اساس مدل‌کامل مبدل کاهنده ـ افزاینده رسم شده است و زوم‌شده‌اش در مجاورت مبدأ، به ترتیب در شکل‌های 19و 20 مشاهده می‌شود. با توجه به شکل شماره 20 برای داشتن فراجهش 51/1 درصد، ضریب تضعیف 8/0 و فرکانس نوسان طبیعی 540 رادیان بر ثانیه مقدار بهره برابر 1/10 انتخاب شده است.

(30)                                                                                  

شکل شماره 18. مبدل کاهنده ـ افزاینده 12 ولت به 19 ولت

شکل شماره 19. مکان هندسی ریشه‌های معادله مشخصه حلقه‌بسته مبدل کاهنده ـ افزاینده بر اساس معادلات کامل رگولاتور و کنترل‌کنندۀ معادله 30

شکل شماره 20. مکان هندسی ریشه‌های معادله مشخصه حلقه‌‌بسته در مجاورت محور موهومی

7. شبیه‌سازی مبدل کاهنده ـ افزاینده

بر اساس مدل کامل ارائه‌شده برای مبدل و کنترل‌کنندۀ طرح شده و نیز مدارهای الکترونیکی آن‌ها در شبیه‌سازی فرض شده است که یک افزایش و کاهش ناگهانی 3 ولتی در ولتاژ ورودی مبدل (V_G) به ترتیب در زمان‌های mS250 و mS280 صورت می‌پذیرد. هدف آن است که کنترل‌کننده بتواند هرچه سریع‌تر و با حداقل فراجهش و نوسان، ولتاژ خروجی را روی مقدار مورد نظر V19 ثابت کند. شکل شماره 21 مدل سیستم حلقه‌بسته را در محیط سیمولینک نشان می‌دهد. شکل‌های 22 تا 24 به ترتیب نشان‌دهندۀ تغییرات ولتاژ خروجی مبدل، میزان تغییرات چرخه کاری سیستم (خروجی کنترل‌کننده) و نیز تغییرات جریان سلف در محیط سیمولینک نرم‌افزار متلب است.

شکل شماره 21. مدل سیستم حلقه‌بسته مبدل کاهنده ـ افزاینده به همراه کنترل‌کنندۀ طرح‌شده در محیط سیمولینک نرم‌افزار متلب

شکل شماره 22. ولتاژ خروجی مبدل کاهنده ـ افزاینده در محیط سیمولینک نرم‌افزار متلب

شکل شماره 23. میزان تغییرات چرخه کاری (خروجی کنترل‌کننده) در محیط سیمولینک نرم‌افزار متلب

شکل شماره 24. تغییرات جریان سلف مبدل کاهنده ـ افزاینده در محیط سیمولینک نرم‌افزار متلب

همچنین برای بررسی میزان دقت مدار الکترونیکی واقعی سیستم، مبدل کاهنده ـ افزاینده به همراه کنترل‌کنندۀ الکترونیکی طرح‌شده مطابق شکل شماره 25 در نرم‌افزار PLECS شبیه‌سازی شده‌اند. سناریوی تعریف‌شده برای بررسی عملکرد رگولاتور، شبیه نرم‌افزار متلب است. شکل‌های 26 تا 28 به ترتیب نشان‌دهندۀ تغییرات ولتاژ خروجی مبدل، میزان تغییرات چرخه کاری مدار (خروجی الکترونیکی کنترل‌کننده) و نیز تغییرات جریان سلف در نرم‌افزار PLECS است. همان‌گونه که مشاهده می‌شود، جز حرکت‌گذاری اولیه دو شبیه‌سازی، ساختار کلی نتایج دو شبیه‌سازی مشابه یکدیگر بوده و خروجی روی V19 تنظیم شده است.

گفتنی است تغییرات فرض‌شده برای ولتاژ ورودی 25%=12/3 و برای جریان بار حدود 700%=44/  هستند. این تغییرات بسیار زیاد در نظر گرفته شده‌اند تا عملکرد مناسب کنترل‌کنندۀ طرح‌شده نشان داده شود.

شکل شماره 25. تغییرات ولتاژ خروجی مبدل کاهنده ـ افزاینده در نرم‌افزار PLECS

شکل شماره 26. ولتاژ خروجی مبدل کاهنده ـ افزاینده در نرم‌افزار PLECS

شکل شماره 27. میزان تغییرات چرخه کاری (خروجی الکترونیکی کنترل‌کننده) در نرم‌افزار PLECS

شکل شماره 28. تغییرات جریان سلف مبدل کاهنده ـ افزاینده در نرم‌افزار PLECS

8. نتیجه‌گیری

در این مقاله، ابتدا مدل کامل فضای حالت مبدل DC به DC کاهنده ـ افزایندۀ ایزوله‌نشده در حضور کلیه نامعینی‌های سیستم مانندِ افت ولتاژ حالت هدایت کلیدها و مقاومت‌های پارازیتی و نشتی خازن و سلف مبدل و نیز مقاومت‌های هدایتی کلیدها ارائه شد. با حذف این نامعینی‌ها، توابع تبدیل مبدل از ولتاژ خروجی تا ولتاژ ورودی و نیز چرخه کاری مشخص شد؛ سپس به کمک این توابع تبدیل و مفاهیم مکان هندسی ریشه‌ها ساختار کلی کنترل‌کننده‌ای برای پایدارسازی ولتاژ خروجی مبدل طراحی و مدار الکترونیکی آن به کمک تقویت‌کننده‌های عملیاتی پیاده‌سازی شد. سرانجام برای یک مبدل ولتاژ VCD12 به V19 بر اساس روش ارائه‌شده و مدل کامل مبدل، کنترل‌کننده‌ای مشخص به همراه مدار الکترونیکی‌اش طرح شد که تنظیم ولتاژ خروجی مبدل را تضمین کند. در انتها برای نشان‌دادن درستی عملکرد کنترل‌کننده، مدل سیستم حلقه‌بسته در محیط سیمولینک نرم‌افزار متلب و مدار الکترونیکی مبدل و کنترل‌کننده در نرم‌افزار PLECS و در پاسخ به تغییرات ولتاژ ورودی و جریان بار شبیه‌سازی شدند. نتایج شبیه‌سازی دو نرم‌افزار به مقدار زیاد مشابه یکدیگر و نشان‌دهندۀ درستی عملکرد کنترل‌کننده بود.